১১. খসাধারণ সমস্যা

প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 88 (আট) দ্বারা বিভাজ্য।

সমাধান

প্রমাণ করতে হবে যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 88 দ্বারা বিভাজ্য।

ধরি, প্রথম জোড় সংখ্যা nn। যেহেতু nn একটি জোড় সংখ্যা, তাই n=2kn = 2k, যেখানে kk একটি পূর্ণ সংখ্যা।

তাহলে, পরবর্তী ক্রমিক জোড় সংখ্যা হবে n+2n + 2

এখন, এই দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল হবে:

n×(n+2)=2k×(2k+2)n \times (n + 2) = 2k \times (2k + 2)

এটি সরলীকরণ করলে পাই:

2k×(2k+2)=2k×2(k+1)=4k(k+1)2k \times (2k + 2) = 2k \times 2(k + 1) = 4k(k + 1)

এখন, 4k(k+1)4k(k + 1) কে 88 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা যাচাই করতে হবে।

প্রথমে লক্ষ্য করি যে, 4k(k+1)4k(k + 1) এর মধ্যে 44 ইতিমধ্যে আছে। এখন k(k+1)k(k + 1) কে বিশ্লেষণ করি।

kk এবং k+1k + 1 হল দুইটি ক্রমিক সংখ্যা, যার মধ্যে একটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। সুতরাং, k(k+1)k(k + 1) অবশ্যই 22 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখন, k(k+1)k(k + 1) কে 22 দ্বারা ভাগ করলে পাই:

k(k+1)=2m(যেখানে m একটি পূর্ণ সংখ্যা)k(k + 1) = 2m \quad \text{(যেখানে $m$ একটি পূর্ণ সংখ্যা)}

তাহলে, 4k(k+1)=4×2m=8m4k(k + 1) = 4 \times 2m = 8m

এখানে 8m8m স্পষ্টতই 88 দ্বারা বিভাজ্য।

অতএব, প্রমাণিত হলো যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 88 দ্বারা বিভাজ্য।