প্রমাণ করতে হবে যে $\sqrt{10}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ধরি, $\sqrt{10}$ একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{10}$ কে $\frac{a}{b}$ আকারে লেখা যাবে, যেখানে $a$ এবং $b$ পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং $b \neq 0$।

তাহলে, আমরা পাই: $\sqrt{10} = \frac{a}{b}$

উভয় পাশে বর্গ করলে, পাই: $10 = \frac{a^2}{b^2}$

এখন, উভয় পাশে $b^2$ দিয়ে গুণ করলে পাই: $10b^2 = a^2$

এখানে $a^2$ হল $10$ এর গুণফল, অর্থাৎ $a^2$ সংখ্যা $10$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, $a$ সংখ্যাটিও $10$ দ্বারা বিভাজ্য হবে। ধরি, $a = 10k$ যেখানে $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে, $a^2 = (10k)^2 = 100k^2$

এখন, সমীকরণে বসালে পাই: $10b^2 = 100k^2$ অথবা, $b^2 = 10k^2$

এখানে $b^2$ হল $10$ এর গুণফল, অর্থাৎ $b^2$ সংখ্যা $10$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, $b$ সংখ্যাটিও $10$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখন, $a$ এবং $b$ উভয়ই $10$ দ্বারা বিভাজ্য, যা $a$ এবং $b$ এর পরস্পর সহমৌলিক হওয়ার শর্তের পরিপন্থী।

অতএব, আমাদের প্রাথমিক ধারণা ভুল। সুতরাং, $\sqrt{10}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।