৯. খসাধারণ সমস্যা

প্রমাণ কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ। খ) 7\sqrt{7}

সমাধান

ধরি, 7\sqrt{7} একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে আমরা 7\sqrt{7} কে ab\frac{a}{b} আকারে লিখতে পারি, যেখানে aa এবং bb পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই (অর্থাৎ, gcd(a,b)=1\gcd(a, b) = 1 এবং b0b \neq 0)।

তাহলে, 7=ab\sqrt{7} = \frac{a}{b}

উভয়পাশের বর্গ করলে পাই:

(7)2=(ab)2(\sqrt{7})^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2

অথবা,

7=a2b27 = \frac{a^2}{b^2}

এখন, উভয়পাশে b2b^2 দিয়ে গুণ করলে পাই:

7b2=a27b^2 = a^2

এখানে, a2a^2 হল 77 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, aa নিজেও 77 দ্বারা বিভাজ্য হবে (কারণ, একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ বিভাজ্য হয়, তবে সেই পূর্ণসংখ্যাও ঐ মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে)।

ধরি a=7ka = 7k, যেখানে kk একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে, a2=(7k)2=49k2a^2 = (7k)^2 = 49k^2

এখন, 7b2=49k27b^2 = 49k^2

উভয়পাশে 77 দিয়ে ভাগ করলে পাই: b2=7k2b^2 = 7k^2

এখানে, b2b^277 দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, bb নিজেও 77 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

কিন্তু, aa এবং bb উভয়ই 77 দ্বারা বিভাজ্য, যা gcd(a,b)=1\gcd(a, b) = 1 বা সহমৌলিক এর শর্তের পরিপন্থী।

অতএব, আমাদের প্রাথমিক অনুমান ভুল এবং 7\sqrt{7} একটি অমূলদ সংখ্যা।