ধরি, $\sqrt{7}$ একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে আমরা $\sqrt{7}$ কে $\frac{a}{b}$ আকারে লিখতে পারি, যেখানে $a$ এবং $b$ পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই (অর্থাৎ, $\gcd(a, b) = 1$ এবং $b \neq 0$)।

তাহলে, $\sqrt{7} = \frac{a}{b}$।

উভয়পাশের বর্গ করলে পাই:

$(\sqrt{7})^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2$

অথবা,

$7 = \frac{a^2}{b^2}$

এখন, উভয়পাশে $b^2$ দিয়ে গুণ করলে পাই:

$7b^2 = a^2$

এখানে, $a^2$ হল $7$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, $a$ নিজেও $7$ দ্বারা বিভাজ্য হবে (কারণ, একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ বিভাজ্য হয়, তবে সেই পূর্ণসংখ্যাও ঐ মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে)।

ধরি $a = 7k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে, $a^2 = (7k)^2 = 49k^2$

এখন, $7b^2 = 49k^2$

উভয়পাশে $7$ দিয়ে ভাগ করলে পাই: $b^2 = 7k^2$

এখানে, $b^2$ ও $7$ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, $b$ নিজেও $7$ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

কিন্তু, $a$ এবং $b$ উভয়ই $7$ দ্বারা বিভাজ্য, যা $\gcd(a, b) = 1$ বা সহমৌলিক এর শর্তের পরিপন্থী।

অতএব, আমাদের প্রাথমিক অনুমান ভুল এবং $\sqrt{7}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।