৯. খসাধারণ সমস্যা
প্রমাণ কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ। খ)
সমাধান
ধরি, একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে আমরা কে আকারে লিখতে পারি, যেখানে এবং পূর্ণসংখ্যা এবং তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই (অর্থাৎ, এবং )।
তাহলে, ।
উভয়পাশের বর্গ করলে পাই:
অথবা,
এখন, উভয়পাশে দিয়ে গুণ করলে পাই:
এখানে, হল দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, নিজেও দ্বারা বিভাজ্য হবে (কারণ, একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার বর্গ বিভাজ্য হয়, তবে সেই পূর্ণসংখ্যাও ঐ মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে)।
ধরি , যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা। তাহলে,
এখন,
উভয়পাশে দিয়ে ভাগ করলে পাই:
এখানে, ও দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, নিজেও দ্বারা বিভাজ্য হবে।
কিন্তু, এবং উভয়ই দ্বারা বিভাজ্য, যা বা সহমৌলিক এর শর্তের পরিপন্থী।
অতএব, আমাদের প্রাথমিক অনুমান ভুল এবং একটি অমূলদ সংখ্যা।