৯. কসাধারণ সমস্যা
প্রমাণ কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ। ক)
সমাধান
প্রমাণ করতে হবে যে একটি অমূলদ সংখ্যা।
ধরি, একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে কে আকারে প্রকাশ করা সম্ভব, যেখানে এবং পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং ।
তাহলে, ।
উভয় পাশে বর্গ করলে পাই:
।
অথবা, ।
এখানে সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে (কারণ যদি একটি মৌলিক সংখ্যা একটি সংখ্যা কে বিভাজ্য করে, তাহলে অবশ্যই কে বিভাজ্য করবে)।
ধরি, , যেখানে একটি পূর্ণসংখ্যা।
তাহলে, ।
অতএব, ।
অথবা, ।
এখানে সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
কিন্তু এবং পরস্পর সহমৌলিক, যা একটি সঙ্গতিহীন অবস্থা।
এই সঙ্গতিহীনতার কারণে আমাদের প্রাথমিক অনুমান ভুল ছিল। সুতরাং, একটি অমূলদ সংখ্যা।