৯. কসাধারণ সমস্যা

প্রমাণ কর যে, প্রতিটি সংখ্যা অমূলদ। ক) 5\sqrt{5}

সমাধান

প্রমাণ করতে হবে যে 5\sqrt{5} একটি অমূলদ সংখ্যা।

ধরি, 5\sqrt{5} একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে 5\sqrt{5} কে ab\frac{a}{b} আকারে প্রকাশ করা সম্ভব, যেখানে aa এবং bb পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং b0b \neq 0

তাহলে, 5=ab\sqrt{5} = \frac{a}{b}

উভয় পাশে বর্গ করলে পাই:

5=a2b25 = \frac{a^2}{b^2}

অথবা, a2=5b2a^2 = 5b^2

এখানে a2a^2 সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, aa সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে (কারণ যদি একটি মৌলিক সংখ্যা pp একটি সংখ্যা x2x^2 কে বিভাজ্য করে, তাহলে pp অবশ্যই xx কে বিভাজ্য করবে)।

ধরি, a=5ka = 5k, যেখানে kk একটি পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে, a2=(5k)2=25k2a^2 = (5k)^2 = 25k^2

অতএব, 5b2=25k25b^2 = 25k^2

অথবা, b2=5k2b^2 = 5k^2

এখানে b2b^2 সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, bb সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

কিন্তু aa এবং bb পরস্পর সহমৌলিক, যা একটি সঙ্গতিহীন অবস্থা।

এই সঙ্গতিহীনতার কারণে আমাদের প্রাথমিক অনুমান ভুল ছিল। সুতরাং, 5\sqrt{5} একটি অমূলদ সংখ্যা।