প্রমাণ করতে হবে যে $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

ধরি, $\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{5}$ কে $\frac{a}{b}$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব, যেখানে $a$ এবং $b$ পরস্পর সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা এবং $b \neq 0$।

তাহলে, $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$।

উভয় পাশে বর্গ করলে পাই:

$5 = \frac{a^2}{b^2}$।

অথবা, $a^2 = 5b^2$।

এখানে $a^2$ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, $a$ সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে (কারণ যদি একটি মৌলিক সংখ্যা $p$ একটি সংখ্যা $x^2$ কে বিভাজ্য করে, তাহলে $p$ অবশ্যই $x$ কে বিভাজ্য করবে)।

ধরি, $a = 5k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে, $a^2 = (5k)^2 = 25k^2$।

অতএব, $5b^2 = 25k^2$।

অথবা, $b^2 = 5k^2$।

এখানে $b^2$ সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, $b$ সংখ্যাটিও ৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

কিন্তু $a$ এবং $b$ পরস্পর সহমৌলিক, যা একটি সঙ্গতিহীন অবস্থা।

এই সঙ্গতিহীনতার কারণে আমাদের প্রাথমিক অনুমান ভুল ছিল। সুতরাং, $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।