২২সৃজনশীল

5\sqrt{5}44 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।

ক) কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর। খ) 5\sqrt{5}44 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর। গ) প্রমাণ কর যে, 5\sqrt{5} একটি অমূলদ সংখ্যা।

সমাধান

ক) কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।

মূলদ সংখ্যা হলো যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ pq\frac{p}{q} আকারে যেখানে pp এবং qq পূর্ণ সংখ্যা এবং q0q \neq 0। অন্যদিকে, অমূলদ সংখ্যা হলো যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

  • 44 একটি মূলদ সংখ্যা কারণ এটি 41\frac{4}{1} আকারে প্রকাশ করা যায়।
  • 5\sqrt{5} একটি অমূলদ সংখ্যা কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

খ) 5\sqrt{5}44 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

5\sqrt{5}44 এর মধ্যে অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হলে, আমরা 5\sqrt{5} এবং 44 এর মধ্যে কিছু অমূলদ সংখ্যা নির্বাচন করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ:

  • 6\sqrt{6}
  • 7\sqrt{7}

এরা উভয়ই 5\sqrt{5} এবং 44 এর মধ্যে অবস্থিত এবং অমূলদ সংখ্যা।

গ) প্রমাণ কর যে, 5\sqrt{5} একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রমাণ: ধরি 5\sqrt{5} একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে, 5=pq\sqrt{5} = \frac{p}{q}, যেখানে pp এবং qq পূর্ণ সংখ্যা এবং q0q \neq 0। ধরে নিচ্ছি pq\frac{p}{q} একটি সরল ভগ্নাংশ, অর্থাৎ pp এবং qq এর গ.সা.গু. 11

তাহলে, 5=pq\sqrt{5} = \frac{p}{q} হলে, উভয় পাশে বর্গ করলে পাই:

5=p2q25 = \frac{p^2}{q^2}

অথবা,

5q2=p25q^2 = p^2

এখানে p2p^2 সংখ্যা 55 দ্বারা বিভাজ্য, তাই pp নিজেও 55 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। ধরি p=5kp = 5k, যেখানে kk একটি পূর্ণ সংখ্যা।

তাহলে, p2=(5k)2=25k2p^2 = (5k)^2 = 25k^2

এখন, 5q2=25k25q^2 = 25k^2 দিলে, q2=5k2q^2 = 5k^2

এখানে q2q^2 সংখ্যাও 55 দ্বারা বিভাজ্য, তাই qq নিজেও 55 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

কিন্তু pp এবং qq উভয়ই 55 দ্বারা বিভাজ্য হলে, তাদের গ.সা.গু. 11 হতে পারে না। এটি একটি বিরোধ, কারণ আমরা ধরেছিলাম pq\frac{p}{q} একটি সরল ভগ্নাংশ।

অতএব, 5\sqrt{5} একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)।