ক) কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।

মূলদ সংখ্যা হলো যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ $\frac{p}{q}$ আকারে যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $q \neq 0$। অন্যদিকে, অমূলদ সংখ্যা হলো যেসব সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

• $4$ একটি মূলদ সংখ্যা কারণ এটি $\frac{4}{1}$ আকারে প্রকাশ করা যায়।
• $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা কারণ এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।

খ) $\sqrt{5}$ ও $4$ এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

$\sqrt{5}$ ও $4$ এর মধ্যে অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করতে হলে, আমরা $\sqrt{5}$ এবং $4$ এর মধ্যে কিছু অমূলদ সংখ্যা নির্বাচন করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ:

• $\sqrt{6}$
• $\sqrt{7}$

এরা উভয়ই $\sqrt{5}$ এবং $4$ এর মধ্যে অবস্থিত এবং অমূলদ সংখ্যা।

গ) প্রমাণ কর যে, $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রমাণ: ধরি $\sqrt{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা। তাহলে, $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণ সংখ্যা এবং $q \neq 0$। ধরে নিচ্ছি $\frac{p}{q}$ একটি সরল ভগ্নাংশ, অর্থাৎ $p$ এবং $q$ এর গ.সা.গু. $1$।

তাহলে, $\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ হলে, উভয় পাশে বর্গ করলে পাই:

$5 = \frac{p^2}{q^2}$

অথবা,

$5q^2 = p^2$

এখানে $p^2$ সংখ্যা $5$ দ্বারা বিভাজ্য, তাই $p$ নিজেও $5$ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। ধরি $p = 5k$, যেখানে $k$ একটি পূর্ণ সংখ্যা।

তাহলে, $p^2 = (5k)^2 = 25k^2$।

এখন, $5q^2 = 25k^2$ দিলে, $q^2 = 5k^2$।

এখানে $q^2$ সংখ্যাও $5$ দ্বারা বিভাজ্য, তাই $q$ নিজেও $5$ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

কিন্তু $p$ এবং $q$ উভয়ই $5$ দ্বারা বিভাজ্য হলে, তাদের গ.সা.গু. $1$ হতে পারে না। এটি একটি বিরোধ, কারণ আমরা ধরেছিলাম $\frac{p}{q}$ একটি সরল ভগ্নাংশ।

অতএব, $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)।