প্রদত্ত সমীকরণটি হল $n = 2x - 1$, যেখানে $x \in N$ (অর্থাৎ, $x$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, $n^2$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $1$ হবে।

প্রথমে $n = 2x - 1$ থেকে $n^2$ বের করি:

$$n^2 = (2x - 1)^2 \\ = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 \\ = 4x^2 - 4x + 1$$

এখন, $n^2 = 4x^2 - 4x + 1$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে তা বের করতে হবে।

প্রথমে $4x^2$ এবং $4x$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে কী ভাগশেষ থাকে তা দেখি:

১. $4x^2$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে:

$4x^2 \equiv 0 \pmod{8}$ (কারণ $4x^2$ সর্বদা $4$ এর গুণিতক এবং $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $0$ হবে)।

২. $4x$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে:

$4x \equiv 0 \pmod{8}$ (কারণ $4x$ সর্বদা $4$ এর গুণিতক এবং $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $0$ হবে)।

এখন, $n^2 = 4x^2 - 4x + 1$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে:

$$n^2 \equiv (4x^2 - 4x + 1) \equiv (0 - 0 + 1) \equiv 1 \pmod{8}$$

অতএব, $n^2$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $1$ হবে। সুতরাং, প্রমাণিত হল যে $n^2$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $1$ ভাগশেষ থাকবে।