২১সাধারণ সমস্যা

n=2x1n = 2x - 1, যেখানে xNx \in N। দেখাও যে, n2n^2 কে 88 (আট) দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 ভাগশেষ থাকবে।

সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণটি হল n=2x1n = 2x - 1, যেখানে xNx \in N (অর্থাৎ, xx একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)। আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, n2n^2 কে 88 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 11 হবে।

প্রথমে n=2x1n = 2x - 1 থেকে n2n^2 বের করি:

n2=(2x1)2=(2x)222x1+12=4x24x+1n^2 = (2x - 1)^2 \\ = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 \\ = 4x^2 - 4x + 1

এখন, n2=4x24x+1n^2 = 4x^2 - 4x + 1 কে 88 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে তা বের করতে হবে।

প্রথমে 4x24x^2 এবং 4x4x কে 88 দ্বারা ভাগ করলে কী ভাগশেষ থাকে তা দেখি:

১. 4x24x^2 কে 88 দ্বারা ভাগ করলে:

4x20(mod8)4x^2 \equiv 0 \pmod{8} (কারণ 4x24x^2 সর্বদা 44 এর গুণিতক এবং 88 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 00 হবে)।

২. 4x4x কে 88 দ্বারা ভাগ করলে:

4x0(mod8)4x \equiv 0 \pmod{8} (কারণ 4x4x সর্বদা 44 এর গুণিতক এবং 88 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 00 হবে)।

এখন, n2=4x24x+1n^2 = 4x^2 - 4x + 1 কে 88 দ্বারা ভাগ করলে:

n2(4x24x+1)(00+1)1(mod8)n^2 \equiv (4x^2 - 4x + 1) \equiv (0 - 0 + 1) \equiv 1 \pmod{8}

অতএব, n2n^2 কে 88 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 11 হবে। সুতরাং, প্রমাণিত হল যে n2n^2 কে 88 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 ভাগশেষ থাকবে।