ধরা যাক a,b,c,d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। তাহলে আমরা লিখতে পারি, a=n, b=n+1, c=n+2, এবং d=n+3, যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।
এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:
ক) abcd=n(n+1)(n+2)(n+3)
এই গুণফলটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না, কারণ চারটি ক্রমিক সংখ্যা গুণ করলে সাধারণত পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় না।
খ) ab+cd=n(n+1)+(n+2)(n+3)
এটি সরল করি:
n(n+1)+(n+2)(n+3)
=n2+n+(n2+5n+6)
=2n2+6n+6
এটি সাধারণত পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না।
গ) abcd+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1
এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না, কারণ n(n+1)(n+2)(n+3) সাধারণত পূর্ণবর্গের কাছাকাছি থাকে না।
ঘ) abcd−1=n(n+1)(n+2)(n+3)−1
এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে। দেখা যাক:
n(n+1)(n+2)(n+3)
=(n2+3n)(n2+3n+2)
এখন, n2+3n=x ধরি, তাহলে
x(x+2)=x2+2x
তাহলে abcd−1=x2+2x−1
=(x+1)2−12
=(x+1−1)(x+1+1)
=x(x+2)
এই কারণে, abcd−1 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ঘ) abcd−1।