বহুনির্বাচনী

a,b,c,da, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা হলে নিচের কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা? ক) abcdabcd খ) ab+cdab + cd গ) abcd+1abcd + 1 ঘ) abcd1abcd - 1

সমাধান

ধরা যাক a,b,c,da, b, c, d চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা। তাহলে আমরা লিখতে পারি, a=na = n, b=n+1b = n+1, c=n+2c = n+2, এবং d=n+3d = n+3, যেখানে nn একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

এখন আমরা প্রতিটি বিকল্প পরীক্ষা করি:

ক) abcd=n(n+1)(n+2)(n+3)abcd = n(n+1)(n+2)(n+3) এই গুণফলটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না, কারণ চারটি ক্রমিক সংখ্যা গুণ করলে সাধারণত পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় না।

খ) ab+cd=n(n+1)+(n+2)(n+3)ab + cd = n(n+1) + (n+2)(n+3) এটি সরল করি: n(n+1)+(n+2)(n+3)n(n+1) + (n+2)(n+3) =n2+n+(n2+5n+6)= n^2 + n + (n^2 + 5n + 6) =2n2+6n+6= 2n^2 + 6n + 6 এটি সাধারণত পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না।

গ) abcd+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1abcd + 1 = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে না, কারণ n(n+1)(n+2)(n+3)n(n+1)(n+2)(n+3) সাধারণত পূর্ণবর্গের কাছাকাছি থাকে না।

ঘ) abcd1=n(n+1)(n+2)(n+3)1abcd - 1 = n(n+1)(n+2)(n+3) - 1 এটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে। দেখা যাক: n(n+1)(n+2)(n+3)n(n+1)(n+2)(n+3) =(n2+3n)(n2+3n+2)= (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)

এখন, n2+3n=xn^2 + 3n = x ধরি, তাহলে x(x+2)=x2+2xx(x+2) = x^2 + 2x

তাহলে abcd1=x2+2x1abcd - 1 = x^2 + 2x - 1 =(x+1)212= (x+1)^2 - 1^2 =(x+11)(x+1+1)= (x+1-1)(x+1+1) =x(x+2)= x(x+2)

এই কারণে, abcd1abcd - 1 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ঘ) abcd1abcd - 1