প্রশ্নের সমাধান করতে আমরা চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল এবং তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত সেগুলোর আসন্ন মান নির্ণয় করব।

ক) $12$ এর বর্গমূল

$$\begin{array}{l} 3 \; ) \; 12.000000... \; ( \; 3.464101... \\ \phantom{3 \; ) \;} 9 \\ 64 \; ) \; \overline{300} \\ \phantom{64 \; ) \;} 256 \\ 686 \; ) \; \overline{4400} \\ \phantom{686 \; ) \;} 4116 \\ 6924 \; ) \; \overline{28400} \\ \phantom{6924 \; ) \;} 27696 \\ 69281 \; ) \; \overline{70400} \\ \phantom{69281 \; ) \;} 69281 \\ \phantom{69281 \; ) \;} \overline{1119} \end{array}$$

তাহলে, $\sqrt{12} \approx 3.4641$ এবং, তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান হবে $3.464$।

খ) $0.\dot{2}\dot{5}$ এর বর্গমূল

আমরা জানি, $0.\dot{2}\dot{5} = 0.252525...$

এখন,

$$\begin{array}{l} 5 \; ) \; 0.252525252525... \; ( \; 0.5025... \\ \phantom{5 \; ) \;} 25 \\ 1002 \; ) \; \overline{2525} \\ \phantom{1002 \; ) \;} 2004 \\ 10045 \; ) \; \overline{52125} \\ \phantom{10045 \; ) \;} 50225 \\ \phantom{10045 \; ) \;} \overline{1900} \\ \end{array}$$

তাহলে, $\sqrt{0.\dot{2}\dot{5}} \approx 0.5025$ এবং, তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান হবে $0.503$।

গ) $1.\dot{3}\dot{4}$ এর বর্গমূল

আমরা জানি, $1.\dot{3}\dot{4} = 1.343434...$

এখন,

$$\begin{array}{l} 1 \; ) \; 1.343434343434... \; ( \; 1.159006... \\ \phantom{1 \; ) \;} 1 \\ 21 \; ) \; \overline{34} \\ \phantom{21 \; ) \;} 21 \\ 225 \; ) \; \overline{1334} \\ \phantom{225 \; ) \;} 1125 \\ 2309 \; ) \; \overline{20934} \\ \phantom{2309 \; ) \;} 20781 \\ 231806 \; ) \; \overline{1533434} \\ \phantom{231806 \; ) \;} 1390836 \\ \phantom{231806 \; ) \;} \overline{142598} \end{array}$$

তাহলে, $\sqrt{1.\dot{3}\dot{4}} \approx 1.1590$ এবং, তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান হবে $1.159$।

ঘ) $5.1\dot{3}0\dot{2}$ এর বর্গমূল

আমরা জানি, $5.1\dot{3}0\dot{2} = 5.1302302...$

এখন,

$$\begin{array}{l} 2 \; ) \; 5.1302302... \; ( \; 2.265001... \\ \phantom{2 \; ) \;} 4 \\ 42 \; ) \; \overline{11302} \\ \phantom{42 \; ) \;} 8400 \\ 446 \; ) \; \overline{29020} \\ \phantom{446 \; ) \;} 26760 \\ 4525 \; ) \; \overline{22630} \\ \phantom{4525 \; ) \;} 22625 \\ 45300 \; ) \; \overline{523023} \\ \phantom{45300 \; ) \;} 453000 \\ 453001 \; ) \; \overline{700230} \\ \phantom{453001 \; ) \;} 453001 \\ \phantom{453001 \; ) \;} \overline{247229} \end{array}$$

তাহলে, $\sqrt{5.1\dot{3}0\dot{2}} \approx 2.2650$ এবং, তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান হবে $2.265$।